Determinação Experimental da Velocidade da Luz em Meios Dielétricos

Disciplina de Relatividade – Escola Superior de Educação – UNINTER

Resumo

Nesta prática experimental, determinamos a velocidade da luz em cabos coaxiais através da medição do tempo de transitividade de sinais elétricos. Apresenta-se o procedimento experimental, análise de incertezas e comparação com o valor padrão no vácuo, c=2,998×108 m/sc = 2,998 \times 10^8 \, \text{m/s}c=2,998×108m/s.

1. Objetivos

O objetivo principal deste experimento é medir a velocidade da luz em um meio dielétrico utilizando cabos coaxiais (modelo RG-58A/U) por meio do método do relógio de luz.

Objetivos específicos:

• Medir o tempo de trânsito de pulsos elétricos em cabos coaxiais

• Calcular a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no meio dielétrico

• Comparar o valor obtido com o valor teórico esperado

• Analisar o comportamento das reflexões em cabos com terminais abertos e fechados

• Determinar a permissividade relativa do dielétrico a partir das medições

• Estimar a resistência distribuída do cabo coaxial

• Verificar a invariância relativística da velocidade da luz aplicada à propagação em meios materiais

2. Contextualização

A velocidade da luz é uma das grandezas fundamentais da física e um conceito central na Teoria da Relatividade Especial.
Em 1675, o astrônomo dinamarquês Olaus Christensen Römer realizou a primeira medição precisa da velocidade da luz, obtendo um valor aproximado de 2,27×108 m/s2,27 \times 10^8 \, \text{m/s}2,27×108m/s. Posteriormente, físicos como Fizeau, Foucault e Michelson aperfeiçoaram as técnicas de medição.

Atualmente, o valor aceito da velocidade da luz no vácuo é:

c=2,99792458×108m/s

Este valor representa um limite universal para a transmissão de informação e energia, conforme estabelecido por Einstein na Teoria da Relatividade Especial.

Velocidade da Luz em Meios Dielétricos

Em meios materiais, como o dielétrico de um cabo coaxial, a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas é menor que a velocidade da luz no vácuo:

v=cnv = \frac{c}{n}v=nc​

onde $n$ é o índice de refração do meio. Para o cabo coaxial RG-58A/U, que possui dielétrico de polietileno sólido, espera-se uma velocidade de propagação de aproximadamente $0,667c$.

3. Fundamentos Teóricos

3.1 Método do Relógio de Luz

O método baseia-se na medição do tempo que um pulso elétrico leva para percorrer um comprimento conhecido de cabo coaxial.
A velocidade da onda eletromagnética é:

v=2LΔtv = \frac{2L}{\Delta t}v=Δt2L​

onde $L$ é o comprimento do cabo e $\Delta t$ é a diferença de tempo entre o pulso original e o refletido.

3.2 Estrutura do Cabo Coaxial (RG-58A/U)

• Condutor central de cobre sólido (diâmetro: 0,9 mm)

• Isolante dielétrico de polietileno (diâmetro externo: 2,95 mm)

• Malha condutora trançada (blindagem)

• Revestimento externo de PVC

• Impedância característica Z0=50 ΩZ_0 = 50 \, \OmegaZ0​=50Ω

• Capacitância distribuída: aproximadamente 100 pF/m

3.3 Reflexões em Descontinuidades

Coeficiente de reflexão:

Γ=Zc−Z0Zc+Z0\Gamma = \frac{Z_c – Z_0}{Z_c + Z_0}Γ=Zc​+Z0​Zc​−Z0​​

• Terminal aberto: Zc→∞Z_c \to \inftyZc​→∞ → $\Gamma =+1$ (mesma polaridade)

• Terminal curto: Zc=0Z_c = 0Zc​=0 → $\Gamma =-1$ (polaridade invertida)

3.4 Atenuação e Resistência Distribuída

Coeficiente de atenuação:

α=12Lln⁡(VincidenteVrefletido)\alpha = \frac{1}{2L} \ln \left( \frac{V_{\text{incidente}}}{V_{\text{refletido}}} \right)α=2L1​ln(Vrefletido​Vincidente​​)

Resistência distribuída:

R=2αZ0R = 2\alpha Z_0R=2αZ0​

3.5 Relação com a Teoria da Relatividade

• Invariância das equações de Maxwell por transformações de Lorentz

• Reflexões como manifestações de transformações relativísticas

• Constância da velocidade de fase para diferentes frequências

4. Materiais e Especificações Técnicas

1. Cabo coaxial RG-58A/U com $L=100,1\text{m}$

2. Gerador de pulsos: 100 MHz, 5 V, 2 ns de subida

3. Osciloscópio digital: 0,5 ns de resolução, 500 MHz de largura de banda

4. Terminais abertos e de curto-circuito

5. Sistema de fixação do cabo

5. Procedimento Experimental

5.1 Preparação

• Conectar cabo ao gerador e ao canal CH1 do osciloscópio

• Osciloscópio:

  • Escala vertical: 5 V/div

  • Base de tempo: 25 ns/div

  • Trigger: normal, nível 2,5 V

5.2 Medição do Tempo de Trânsito

1. Ligar o gerador

2. Deixar terminal aberto

3. Observar pulso incidente e refletido

4. Usar cursores para medir $\Delta t$

5. Repetir 5 vezes

6. Repetir com terminal fechado

5.3 Medição das Tensões

1. Gerador ligado

2. Terminal aberto

3. Usar cursores em modo “VOLTAGE”

4. Medir tensões dos pulsos incidente1, incidente2, refletido1, refletido2

5. Registrar polaridade

6. Repetir com terminal fechado

7. Comparar polaridades

6. Análise de Dados e Incertezas

6.1 Estatística das Medidas Temporais

• Média aritmética

• Desvio padrão

• Erro padrão da média

xˉ=1n∑xi;s=1n−1∑(xi−xˉ)2;σ=sn\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \quad ; \quad s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (x_i – \bar{x})^2} \quad ; \quad \sigma = \frac{s}{\sqrt{n}}xˉ=n1​∑xi​;s=n−11​∑(xi​−xˉ)2​;σ=n​s​

6.2 Propagação de Incertezas

σv=v(σLL)2+(σΔtΔt)2\sigma_v = v \sqrt{ \left( \frac{\sigma_L}{L} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_{\Delta t}}{\Delta t} \right)^2 }σv​=v(LσL​​)2+(ΔtσΔt​​)2​ vexp±σvv_{\text{exp}} \pm \sigma_vvexp​±σv​ vexpc=fator de reduc¸a˜o\frac{v_{\text{exp}}}{c} = \text{fator de redução}cvexp​​=fator de reduc¸​a˜o

6.3 Reflexões

Γexp=VrefletidoVincidente\Gamma_{\text{exp}} = \frac{V_{\text{refletido}}}{V_{\text{incidente}}}Γexp​=Vincidente​Vrefletido​​

Desvio percentual:

Desvio %=∣Γexp−ΓteoΓteo∣×100\text{Desvio \%} = \left| \frac{\Gamma_{\text{exp}} – \Gamma_{\text{teo}}}{\Gamma_{\text{teo}}} \right| \times 100Desvio %=​Γteo​Γexp​−Γteo​​​×100

6.4 Permissividade Relativa

εr=(cvexp)2\varepsilon_r = \left( \frac{c}{v_{\text{exp}}} \right)^2εr​=(vexp​c​)2 σεr=2⋅c2vexp3⋅σv\sigma_{\varepsilon_r} = 2 \cdot \frac{c^2}{v_{\text{exp}}^3} \cdot \sigma_vσεr​​=2⋅vexp3​c2​⋅σv​

6.5 Teste t de Student

Hipóteses:

• H0:vexp=vteo=0,667cH_0: v_{\text{exp}} = v_{\text{teo}} = 0,667cH0​:vexp​=vteo​=0,667c

• H1:vexp≠vteoH_1: v_{\text{exp}} \neq v_{\text{teo}}H1​:vexp​=vteo​

Estatística t:

tcalc=vexp−vteoσvt_{\text{calc}} = \frac{v_{\text{exp}} – v_{\text{teo}}}{\sigma_v}tcalc​=σv​vexp​−vteo​​

• $\text{gl}=n-1=4$

• tcrıˊtico=2,776t_{\text{crítico}} = 2,776tcrıˊtico​=2,776 (nível 95%)

Critério de Decisão:

• ∣tcalc∣<tcrıˊtico|t_{\text{calc}}| < t_{\text{crítico}}∣tcalc​∣<tcrıˊtico​: Não rejeita H0H_0H0​

• ∣tcalc∣≥tcrıˊtico|t_{\text{calc}}| \geq t_{\text{crítico}}∣tcalc​∣≥tcrıˊtico​: Rejeita H0H_0H0​

Intervalo de Confiança (95%):

IC=vexp±tcrıˊtico⋅σvnIC = v_{\text{exp}} \pm t_{\text{crítico}} \cdot \frac{\sigma_v}{\sqrt{n}}IC=vexp​±tcrıˊtico​⋅n​σv​​

Apêndice A – Medições

A.1 Terminal Aberto – Tempo

Figura 2: Medições com terminal aberto

A.2 Terminal Fechado – Tempo

Figura 3: Medições com terminal fechado

A.3 Diferença de Potencial

Figura 4: Terminais abertos
Figura 5: Terminais fechados

Apêndice B – Teste t de Student

B.1 Hipóteses

• H0:vexp=vteoH_0: v_{\text{exp}} = v_{\text{teo}}H0​:vexp​=vteo​

• H1:vexp≠vteoH_1: v_{\text{exp}} \ne v_{\text{teo}}H1​:vexp​=vteo​

B.2 Cálculos

tcalc=vexp−vteoσvt_{\text{calc}} = \frac{v_{\text{exp}} – v_{\text{teo}}}{\sigma_v}tcalc​=σv​vexp​−vteo​​

B.3 Intervalo de Confiança

IC=vexp±tcrıˊtico⋅σvnIC = v_{\text{exp}} \pm t_{\text{crítico}} \cdot \frac{\sigma_v}{\sqrt{n}}IC=vexp​±tcrıˊtico​⋅n​σv​​

B.4 Permissividade Relativa Final

εr=(cvexp)2\varepsilon_r = \left( \frac{c}{v_{\text{exp}}} \right)^2εr​=(vexp​c​)2

Comparar com εrteo=2,25\varepsilon_r^{\text{teo}} = 2,25εrteo​=2,25

Referências

[1] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley, 1999.
[2] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. II, Addison-Wesley, 1964.